Formulation variationnelle du problème de Poisson

On considère le problème de Poisson dans un domaine Ω de Rᶛ, supposé orné et régulier.

-Δυ= f dans Ω

υ =0 sur Γ

L'approche présentée dans la suite consiste à exprimer se probleme de facon duale: on écrit le produit de dualité L² de chacun de ses membres cotre une fonction-test generique. Un choix approprié de l'espace dans lequel on fait vivre la fonction inconnue et la fonction-test permet de transformer  ce problème en un enoncé de type Riez-Frechet : l'inconnue joue alors le role de l'element d'un espace de Hilert qui s'identifie à ue forme linéaire donnée ( qui résulte du terme de forcage,i.e. du second membre) au travers d'un produit scalaire particulier. Le résultat d'existence est d'unicité prend ainsi la forme d'une identité entre l'inconnue u et la donnée f, qui exprime le meme objet de façons différentes.

Cette démarche en elle-meme n'est pas mathématique, elle consiste précisément à faire rentrer le problème dans un cadre mathématique. Pour le mathématicien, non seulement le problème n'est pas encore bien posé ( il n'est pas sous une forme qui permette l'utilisation direct d'un théorème), mais d'une certaine manière il n'est meme pas posé ( l'espace dans lequel est supposé vivre l'inconnue n'est pas précisé, ni le sens que peuvent avoir les conditions aux limites). Ces remarques peuvent laisser croire que l'obtention de la formulation variationnelle se fait hors de toute regle. Il faut cependant garder à l'esprit qu'un retour ( parfaitement mathématisé celui-là) vers l'equation sera nécessaire pour garantir le lien entre le problème initial et la formulation variationnelle.